2019年高考数学考点突破专题 计数原理(理科专用)排列与组合Word版含解析

排列与组合 【考点梳理】 1.排列与组合的概念 名称 排列 组合 2.排列数与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的排列数. (2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质 定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个不同元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组 n! m (1)An=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (n-m)! 公式 An n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (2)C = m= Am m! m n m = n! * 0 (n,m∈N ,且 m≤n).特别地 Cn=1 m!(n-m)! n 性质 【考点突破】 (1)0!=1;An=n!. (2)Cn=Cn ;Cn+1=Cn+Cn m n-m m m m-1 考点一、排列问题 【例 1】有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数. (1)选 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻. [解析] (1)从 7 人中选 5 人排列,有 A7=7×6×5×4×3=2 520(种). (2)分两步完成, 先选 3 人站前排, 有 A7种方法, 余下 4 人站后排, 有 A4种方法, 共有 A7· A4 =5 040(种). 3 4 3 4 5 (3)法一 (特殊元素优先法)先排甲, 有 5 种方法, 其余 6 人有 A6种排列方法, 共有 5×A6= 3 600(种). 法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人, 有 A6种排法, 其他有 A5种排法, 共有 A6A5=3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列,有 A4种方法,再将女生全排列, 有 A4种方法,共有 A4·A4=576(种). (5)(插空法)先排女生, 有 A4种方法, 再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男 生,有 A5种方法,共有 A4·A5=1 440(种). 【类题通法】 1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列 时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过 多的问题可以采用间接法. 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条 件的排列问题的常用方法. 【对点训练】 1. 从 4 本不同的课外读物中, 买 3 本送给 3 名同学, 每人各 1 本, 则不同的送法种数是( A.12 [答案] B [解析] 4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学,每人一本,则不同的分配方法为 A4= 24. 2.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( A.24 [答案] D [解析] 由题意,可知个位可以从 1,3,5 中任选一个,有 A3种方法,其他数位上的数可 以从剩下的 4 个数字中任选, 进行全排列, 有 A4种方法, 所以奇数的个数为 A3A4=3×4×3×2×1 =72. 3.从 6 本不同的书中选出 4 本,分别发给 4 个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则 不同分配方法有( A.180 种 [答案] C ) B.220 种 C.240 种 D.260 种 4 1 4 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 2 5 2 5 6 6 ) B.24 C.64 D.81 ) B.48 C.60 D.72 [解析] 因为其中两本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的 4 本中分一本,然后再选 3 本分给 3 个同学,故有 A4·A5=240 种. 4.在一展览会上,要展出 5 件艺术作品,其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标 志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作品必须相邻,2 件绘画 作品不能相邻,则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答). [答案] 24 [解析] 将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体,同 1 件建筑设计展品全排列,再将 2 件不能相邻的绘画作品插空,故共有 A2A2A3=24 种不同的展出方案. 考点二、组合问题 【例 2】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选 取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? [解析] (1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C34=561 种,∴某一种假货必须在内的不同 取法有 561 种. (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C34种或者 C35-C34=C34=5 984 种. ∴某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种. (3)从 20 种真货中选取 1 件,从 15 种假货中选取 2 件有 C20C15=2 100 种. ∴恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种. (4)选取 2 种假货有 C20C15种,选取 3 件假货有 C15种,共有选取方式 C20C15+C15=2 100+455 =2 555 种. ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. (5)选取 3 件的总数为 C35,因此共有选取方式 C35-C15=6 545-455=6 090 种. ∴至多有 2 种假货在

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